Geometri denilince gözümüzün korkmasının en önemli nedenlerinden bir tanesi, altıgen gibi etrafımızda pek görmediğimiz geometrik şekillerin de olmasıdır. Bu şekiller günlük hayatımızda pek örneğini görmediğimiz için bir geometri kitabını açınca ya da bir altıgenin alanı nasıl bulunur sorusu görünce ister istemez gerilmemize ve kafamızda soru işaretleri oluşmasına neden oluyor.
Merak etmeyin, altıgenin alanı nasıl hesaplanır sorusunun bir yanıtı var ama pek bildiğimiz gibi değil. Çünkü altıgen, adından da anlaşılacağı üzere biraz karışık bir şekil olduğu için özel durumlarda uygulanacak farklı yöntemler ve bu yöntemlerde kullanılacak özel formüller var. En iyisi gelin en sade haliyle altıgenin alanı nasıl hesaplanır yakından bakalım ve uygulayabileceğiniz yöntemleri görelim.
Öncelikle şeklimizi tanıyalım; Altıgen nedir?
Altı kenara ve altı köşeye sahip olan çokgenler altıgen olarak adlandırılır. Kenarların ve iç açıların eşit olduğu altıgenler ise düzgün altıgen olarak adlandırılmaktadır. Altı eşkenar üçgenden oluşan bir düzgün altıgenin iç açılarından her biri 120 derecedir ve iç açıları toplamı 720 derecedir. Her bir dış açısı ise 60 derecedir.
Kısaca altıgenin temel özellikleri:
- Bir altıgen, altı kenara sahiptir.
- Bir altıgen, altı köşeye sahiptir.
- Bir altıgenin bir iç açısı 120 derecedir.
- Bir altıgenin iç açıları toplamı 720 derecedir.
- Bir altıgenin bir dış açısı 60 derecedir.
- Bir altıgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
- Bir altıgen, dokuz köşegene sahiptir.
- Bir altıgenin çevresi, kenarların çevre uzunluğunu toplayarak bulunur.
- Bir altıgen, altı eşkenar üçgenin birleşmesi ile oluşur.
Altıgenin alanı nasıl bulunur? İşte farklı şekillerde uygulayabileceğiniz yöntemler:
- Yöntem #1: Kenar uzunluğuna göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplama
- Yöntem #2: İç yarıçapına göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplama
- Yöntem #3: Köşe noktalarına göre düzgün olmayan bir altıgenin alanını hesaplama
Yöntem #1: Kenar uzunluğuna göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplama:
- Adım #1: Altıgenin alan formülü Alan = ( 3√3 x s² ) / 2 şeklindedir.
- Adım #2: Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu s olarak gösterilir.
- Adım #3: Çevre uzunluğu / 6 şeklinde altıgenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
- Adım #4: Diyelim 54 / 6 = 9
- Adım #5: İç yarıçapı biliyorsanız a = x√3 x 2 ile de bir kenar uzunluğu bulunabilir.
- Adım #6: 9 cm kenar uzunluğunu formülde yerine koyalım Alan = ( 3√3 x 9² ) / 2
- Adım #7: Alan = ( 3√3 x 81 ) / 2
- Adım #8: Alan = ( 243√3 ) / 2
- Adım #9: Alan = 420,8 / 2
- Adım #10: Alan = 210,4
- Adım #11: Alan metrekare olarak gösterilir yani Alan = 210,4 cm²
Kenar uzunluğuna göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplamak için yukarıdaki adımları uygulamanız yeterli. Altıgenin şekline göre adımlar değişiklik gösterebilir ancak temel bir işlem yapacaksanız formül ve adımlar aynıdır ya da benzerlik gösterecektir.
Yöntem #2: İç yarıçapına göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplama:
- Adım #1: Bu şekilde altıgenin alan formülü Alan = 1 / 2 x çevre uzunluğu x iç yarıçap şeklindedir.
- Adım #2: Diyelim altıgenin iç yarıçapı 5√3 cm olsun.
- Adım #3: Diyelim kenar uzunluğu 10 cm olsun.
- Adım #4: 10 x 6 = 60 cm altıgenin çevre uzunluğudur.
- Adım #5: Eldeki verileri formüle yerleştirelim Alan = 1 / 2 x 60 x 5√3
- Adım #6: Alan = 30 x 5√3
- Adım #7: Alan = 150√3
- Adım #8: Alan = 259,8
- Adım #9: Alan metrekare olarak gösterilir yani Alan = 259,8 cm²
İç yarıçapına göre bir düzgün altıgenin alanını hesaplamak için yukarıdaki adımları uygulamanız yeterli. Altıgenin şekline göre adımlar değişiklik gösterebilir ancak temel bir işlem yapacaksanız formül ve adımlar aynıdır ya da benzerlik gösterecektir.
Yöntem #3: Köşe noktalarına göre düzgün olmayan bir altıgenin alanını hesaplama:
- Adım #1: Öncelikle altıgenin köşe noktaları ile 7 satırdan ve x ile y sütunundan oluşan bir liste yapalım.
- Adım #2: Diyelim;
- A: (4, 10)
- B: (9, 7)
- C: (11, 2)
- D: (2, 2)
- E: (1, 5)
- F: (4, 7)
- A: (4, 10) evet tekrar yazılıyor.
- Adım #3: x ile y şeklinde çaprazlama olarak köşe noktaları çarpalım;
- 4 x 7 = 28
- 9 x 2 = 18
- 11 x 2 = 22
- 2 x 5 = 10
- 1 x 7 = 7
- Adım #4: Sonuçları toplayalım 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
- Adım #5: y ile x şeklinde çaprazlama olarak köşe noktaları çarpalım;
- 10 x 9 = 90
- 7 x 11 = 77
- 2 x 2 = 4
- 2 x 1 = 2
- 5 x 4 = 20
- 7 x 4 = 28
- Adım #6: Sonuçları toplayalım 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
- Adım #7: İkinci sonucu ilk sonuçtan çıkaralım yani 125 - 221 = -96
- Adım #8: Alan pozitif olması gerektiği için pozitif olarak sonucu ikiye bölelim yani 96 / 2 = 48
- Adım #9: Alan metrekare olarak gösterilir yani Alan = 48 m²
Köşe noktalarına göre düzgün olmayan bir altıgenin alanını hesaplamak için yukarıdaki adımları uygulamanız yeterli. Altıgenin şekline göre adımlar değişiklik gösterebilir ancak temel bir işlem yapacaksanız formül ve adımlar aynıdır ya da benzerlik gösterecektir.
Geometrinin en kafa karıştırıcı konularından bir tanesi olan altıgenin alanı nasıl bulunur sorusunu yanıtlayarak uygulayabileceğiniz farklı yöntemleri paylaştık. Yapacağınız işleme göre yöntem adımlarında değişiklik olabilir.
